Kursvorlage
Dynamische Systeme mit ODEs simulieren (Euler → RK4 → Ökosystem → Stabilität)
Numerische Simulation von ODEs mit Euler/RK4 und Analyse von Stabilität.
Didaktische Zielsetzung
Diese Kursvorlage führt systematisch in die numerische Simulation dynamischer Systeme auf Basis gewöhnlicher Differentialgleichungen ein. Im Fokus steht der Aufbau von Kompetenzen in der numerischen Integration, der Modellierung dynamischer Prozesse sowie der Analyse von Stabilitätseigenschaften. Die Lernenden verbinden mathematische Modelle mit deren algorithmischer Umsetzung und untersuchen systematisch Einflüsse von Schrittweite, Verfahren und Parametern. Fachlich ist die Vorlage im Bereich Differentialgleichungen, numerische Verfahren und dynamische Systeme verankert.
Kompetenzschwerpunkte
- Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Euler- und Runge-Kutta-Verfahren
- Analyse des Einflusses von Schrittweiten auf Genauigkeit und Stabilität numerischer Verfahren
- Modellierung physikalischer und biologischer Systeme durch Differentialgleichungen
- Vergleich unterschiedlicher numerischer Integrationsverfahren anhand von Fehler- und Differenzanalysen
- Visualisierung dynamischer Prozesse in Zeitreihen und Phasenportraits
- Statistische Auswertung von Simulationsergebnissen (Mittelwert, Standardabweichung, Spannweite)
- Untersuchung von Stabilitätseigenschaften mittels Jacobi-Matrix und Eigenwertanalyse
Struktur der Bausteine
Kaffee-Abkuehlung: Euler-ODE und dt-Vergleich
Einführung in die numerische Lösung einer ODE mit dem Eulerverfahren sowie Analyse des Einflusses der Schrittweite auf Simulationsergebnisse.
Falling Objects: Euler vs RK4 und dt-Sensitivitaet
Vergleich von Euler- und RK4-Verfahren anhand eines physikalischen Modells sowie Untersuchung von Genauigkeit und Sensitivität gegenüber der Schrittweite.
Lotka–Volterra mit RK4 und Statistik
Simulation eines gekoppelten ODE-Systems mit RK4 sowie Auswertung der Dynamik durch statistische Kennzahlen und Zeitreihenanalyse.
Lotka-Volterra: Phasenportrait mit Fixpunkt-Markierung
Erweiterung zur Analyse im Zustandsraum durch Phasenportraits und Identifikation von Fixpunkten in einem nichtlinearen System.
Stabilitaet am Fixpunkt: Jacobi & Eigenwerte
Analyse der lokalen Stabilität durch Linearisierung mittels Jacobi-Matrix und Interpretation von Eigenwerten im Kontext dynamischer Systeme.
Die klar gegliederten Bausteine ermöglichen eine schrittweise Kompetenzentwicklung und sind anschlussfähig an weiterführende Themen der Numerik und Modellierung.
Erproben Sie die Vorlage im Unterricht und passen Sie die einzelnen Module gezielt an Ihre Lerngruppe an.