Kursvorlage
Numerische Integration & Differentiation in Anwendungen (5 Module)
Numerische Integration und Differentiation mit Python.
Didaktische Zielsetzung
Diese Kursvorlage vermittelt zentrale Verfahren der numerischen Integration und numerischen Differentiation anhand konkreter Anwendungsprobleme aus Messdaten und Funktionsmodellen. Dabei werden fachliche Kompetenzen in der Auswahl, Implementierung und Bewertung numerischer Methoden aufgebaut, insbesondere im Vergleich unterschiedlicher Näherungsverfahren und ihrer Fehlercharakteristik. Die Vorlage verbindet mathematische Modellierung mit klar strukturierter algorithmischer Umsetzung in Python und macht sichtbar, wie sich Daten, Formeln und Implementierung wechselseitig bedingen. Fachlich ist sie im Bereich numerische Methoden, datenorientierte Analyse und anwendungsbezogene Modellierung einzuordnen.
Kompetenzschwerpunkte
- Implementierung von Trapezregel, Simpsonregel, Gauss-Legendre-Quadratur und adaptiver Trapezregel zur numerischen Integration
- Numerische Ableitung diskreter Daten mit Forward, Backward und Central Difference
- Fehleranalyse und Schrittweitenstudien zur Bewertung von Genauigkeit und Verfahrenswahl
- Verarbeitung und Auswertung von Messdaten aus CSV-Dateien mit pandas und NumPy
- Vergleich eigener Implementierungen mit Referenzwerten oder Bibliotheksfunktionen
- Visualisierung von Fehlerverläufen, Messreihen und numerischen Ergebnissen mit Matplotlib
- Interpretation numerischer Ergebnisse in Anwendungszusammenhängen wie Strecke, Energie und Arbeit
Struktur der Bausteine
Strecke aus Sensordaten: Trapezregel
Dieser Baustein führt in die numerische Integration diskreter Messdaten ein und nutzt die Trapezregel zur Berechnung einer Strecke aus Geschwindigkeitswerten.
Simpsonregel: Energie aus Leistungs-Zeitreihe
Dieser Baustein vertieft die Integration äquidistanter Zeitreihen durch die Simpsonregel und ordnet die Ergebnisse fachlich über einen Methodenvergleich ein.
Gauss-Quadratur: Fehler vs. Stützstellen
Dieser Baustein erweitert den Methodenkanon um die Gauss-Legendre-Quadratur und fokussiert den Zusammenhang von Stützstellenzahl und Approximationsfehler.
Numerische Ableitung: Fehler vs Schrittweite h
Dieser Baustein behandelt die numerische Differentiation diskreter Daten und macht die Auswirkungen verschiedener Differenzenverfahren und Schrittweiten sichtbar.
Adaptive Trapezregel: Arbeit aus Kraftkurve
Dieser Baustein führt adaptive Verfeinerungsstrategien ein und verbindet Genauigkeitsanforderungen mit Aufwand und Konvergenzverhalten numerischer Integration.
Inhalte im Überblick
| Baustein | Schwerpunkt | Dauer |
|---|---|---|
| Strecke aus Sensordaten: Trapezregel | Berechnung von Strecke aus Geschwindigkeitsdaten mit Trapezregel, Referenzvergleich und Fehlerauswertung. | 60 min |
| Simpsonregel: Energie aus Leistungs-Zeitreihe | Integration einer Leistungs-Zeitreihe mit Simpsonregel und Trapezregel sowie Umrechnung und Vergleich der Energiewerte. | 60 min |
| Gauss-Quadratur: Fehler vs. Stützstellen | Anwendung der Gauss-Legendre-Quadratur mit Fehlervergleich gegenüber Referenzwert und Trapezregel. | 75 min |
| Numerische Ableitung: Fehler vs Schrittweite h | Implementierung von Differenzenverfahren, MAE-basierter Fehleranalyse und Schrittweitenstudie im Log-Log-Plot. | 60 min |
| Adaptive Trapezregel: Arbeit aus Kraftkurve | Berechnung von Arbeit mit adaptiver Trapezregel, Protokollierung der Konvergenz und Vergleich von Aufwand und Genauigkeit. | 70 min |
Die klar gegliederten Bausteine schaffen transparente Lernziele und lassen sich gut in bestehende Unterrichtsreihen zu Datenanalyse und Numerik einbinden.
Erproben Sie die Vorlage im eigenen Unterricht und passen Sie die Module gezielt an Ihre Lerngruppe und fachlichen Schwerpunkte an.